on considère un nombre de 3 chiffres qui s'écrit abc en base 10 avec a>c+1. a) montrez que si N = abc et N' = cba, alors N-N' est divisible par 9. b) vérifier q

Bonjour
 N=100a+10b+c
N'=100c+10b+a
N-N'=99a-99c=99(a-c)=9*11(a-c)
donc N-N' est divisible par 9
b)100(a-c-1) + 90 + (10 + c -a)=100a-100c-100+90+10+c-a
=99a-99c=99(a-c)

10 + c -a=10-(a-c)

a>c+1 donc a-c>1

donc –(a-c)<-1

donc 10-(a-c)<9

D’autre part

a est le chiffre des unités de N' donc 0≤a ≤9
c est le chiffre des unités de N' donc 0≤c≤9, donc -9≤-c≤0, donc -9≤a-c≤9, donc -9≤-(a-c)≤9

donc 1≤10-(a-c)≤19

donc 0<10-(a-c)<9 (donc 10-(a-c) peut être le chiffre des unités de N-N’)

D’autre part

a-c>1 donc a-c-1>0, (donc a-c-1 peut être le chiffre des centaines de N-N’)

Donc :

N-N’= 100*(a-c-1) + 9*10 + (10 –( a-c) avec a-c-1>0, 0<9<10 et a-c-1>0 et 0<10-(a-c)<9

Comme cette décomposition est unique le chiffre des dizaines ne peut être que 9. Il est donc indépendant de a b c