3 ABCD est un quadrilatère; les points H, I, J et K sont les milieux respectifs des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA]. Quelle est la nature du quadrilatère HIJK?​

Bonjour,

On a BH/BA = BI/BC = ½

D'après la réciproque du th. de Thalès, (HI) // (AC)

Puisque (HI) // (AC) et d'après le th. de Thalès, on a HI/AC = BH/BA = BI/BC = ½ soit HI = AC/2

On montre de même que :

(JK) // (AC) et que JK = AC/2

(IJ) // (BD) et que IJ = BD/2

(KH) // (BD) et que KH = BD/2

On en déduit que HI = IJ = JK = KH = AB/2 = BD/2

IJKL est donc un losange.

De plus, (JC) // (HB), JC = HB = AB/2

JCBH est donc un parallélogramme. D'où JH = BC

On montre de même que KI = AB

Soit JH = KI

IJKL est donc un losange dont les diagonales ont la même longueur.

IJKL est par conséquent d'un carré.