Bonjour à tous. LES FONCTIONS. Hyper besoin d'aide, pour répondre les exercices N°14 - 16 - 20 et 37 pages 115 (pour savoir la consigne), et page 116 pour savoi

Bonsoir,

Pour le 14 et le 16, il s'agit de dériver des fonctions polynômes. Pour cela, on dérive chaque monôme séparément en utilisant les formules du cours.
Pour le 14 :
[tex]f'\left(x\right) = 2\times 2x + 0{,}5\\ f'\left(x\right) = 4x+0{,}5[/tex]

Même procédé pour le 16 en sachant que la dérivée de x^3, c'est 3x^2.

Ensuite, pour le 20, tu dois dériver séparément les deux termes de la somme, avec la formule (1/u)' = u'/u².
En prenant u(x) = 3x, tu trouves u'(x) = 3, et :
[tex]f'\left(x\right) = -2\times -\frac{u'\left(x\right)}{\left(u\left(x\right)\right)^2} -1\\ f'\left(x\right) = -2\times -\frac{3}{9x^2} -1\\ f'\left(x\right) = \frac {2}{3x^2} -1[/tex]

Pour le 37 :
Tu dois dériver un quotient, donc commence par définir une fonction pour le numérateur u(x) = x² et pour le dénominateur v(x) = x+2.
Tu as u'(x) = 2x et v'(x) = 1. Ensuite formule du cours :
[tex]f'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\\ f'\left(x\right) = \frac{u'\left(x\right)v\left(x\right)-u\left(x\right)v'\left(x\right)}{v\left(x\right)^2}\\[/tex]
Je te laisse remplacer et développer. Normalement on trouve :
[tex]f'\left(x\right) = \frac{x^2+4x}{\left(x+2\right)^2}[/tex]

Si tu as des questions, n'hésite pas ! =)

les derives

ece quil faut calculer les f ' (x)  depuis la definition de derive ?  ou  c'est suffit de presenter les resultats ?

9.  f(x) = 5 x - 4
      f ' (x) = lim Δx -> 0   [ f(x+Δx) - f(x) ] / Δx
       f ' (x)  =  Lim Δx -> 0    [5 x + 5 Δx - 4 - (5 x  - 4) ] / Δ x
             = 5
   on peut utiliser la formule  pour    la derive de f(x) = x  , f '(x) = 1

10. f(x)  =  1 - 7 x 
     f ' (x) =    Lim Δx -> 0  [  1 - 7 x - 7 Δx - 1 + 7 x ] / Δx
             = - 7
     on directement ecrire - 7, parce que, la derive de "1" = 0. (1 est une constante/un nombre).  La derive  de - 7 x est - 7 * 1 = -7

11.  f(x) = - x + 2 
   f ' (x) =  -1 * (derive  de "x" )  +  0 = -1 * 1 = -1
12. f(x) = 1/2  x - 4/3
       f ' = 1/2 * 1 - 0 = 1/2
13.  f(x) = - x² - 4
       la derive  de  x^n =  n * x^{n-1}
         la derive de  x² = 2 * x^{2-1} = 2 x
     f ' (x) = - 2 x

si vous desirez les detailles:
     f '(x) = Lim  Δx - > 0  [ - (x+Δx)² - 4 + x² + 4 ] / Δx
            = Lim  Δx   [ - 2 x Δx + Δx² ]  / Δx
             = - 2 x + Δx  ,         limite de  Δx  = 0

14) f(x) = 2 x² + 0,5 x
        f ' (x) = 2 * (2 x) +  0,5 * (1)  = 4 x + 0,5

15) f (x) = -2 x² - 4 / x   = - 2 x² - 4 x⁻¹            x ≠ 0
       f '(x)  = -2 * (2x) - 4 * (-1) * x⁻¹⁻¹
               = - 4 x + 4 x⁻²  = - 4 x + 4 / x²      ,  x ≠ 0
 
     la derive  de  1/x ou  x⁻¹  est  - 1 / x²  ou  x⁻²    , x ≠ 0

16)
        f(x) =  2 x³ - 3 x + 1   
           f ' (x) =  2 * (3 * x² ) -  3 * (1)
                 = 6 x² - 3
17)  f(x) = - 3 x³ - 3 / x + 1 
       f ' (x) = -3  * ( 3 x² ) - 3 * (-1/x²)  = - 9x² + 3 / x²

18)  f(x) = 2 - 5 /x + x ,    x≠ 0
     f ' (x) = - 5 * (-1/x²)  + 1  =  1 - 5/x² ,    x≠ 0
19)  f(x) = 1 - 1/2* (1/x) + x
           f ' (x) = -1/2 * (-1/x²) + 1    ,        x≠ 0
                   = 1 /(2x²) + 1          x ≠ 0
20)  f (x) = -2/(3x) - x
           f ' (x) = -2/3 * (-1/x²) - 1          , x≠ 0
                 = 2 /(3x²) - 1
21)  f(x) = x³ / 3 + 2 / x - 0,5
               f '(x) =  1/3 * (3 x²) + 2 * (-1 / x²)
                     = x² - 2/x²

22) f(x) = 2/x³  = 2 x⁻³          x ≠ 0
         f ' (x) = 2 * (-3 * x⁻³⁻¹ )  = -6 x⁻⁴      x <> 0

35 ) f(x) =  (2 x + 1 ) / ( x - 2)            x <> 2
         la formule pour la derive de ( u / v )  =  (v u' - u v' ) / v^2
           u = 2x+1      v = x -2            u' =  2    v' = 1
       f '(x)  = [ (x-2) * 2 - (2x+1) * 1 ] / (x-2)^2  = -5 /(x-2)^2

36)  f(x) = (1-x) / x^2    x <> 0
         f '(x) = [ x^2 (-1) - (1-x) (2x) ] / x^4  =  [ x^2 - 2 x ] / x^4 = (x - 2) / x^3

37 )  f(x) = x^2 / (x+2)
           f ' (x) = [ (x+2) * 2x  - x^2 (1) ] / (x+2)^2
               = [ x^2 + 4 x ] / (x+2)^2     ,    x <> -2
38 ) f(x) = [ x^2  + x + 1 ] / (x - 1)      x <> 1
             f ' (x) =  [ (x-1) * (2x+1) - (x^2+x+1) (x-1)  ] / (x-1)^2
                   = [ 2x^2 - x - 1 - x^3  + 1 +x^2 -x^2 +x -x ]  / (x-1)^2
                     = [ 2 x^2 - x^3 ] / (x-1)^3
39)  f(x) = ( x^2 - x - 1) / (X^2 + 1)    x <> 0
             = ( x^2 + 1 - x - 2) / (x^2 + 1)  = 1 - (x+2) / (x^2+1)
           f '(x) = 0 - [(x^2+1) (1) - (x+2) (2x) ] / (x^2+1)^2
                       = [ x^2 + 4x - 1 ] / (x^2 +1)^2  ,  x <> 0

40)