n est un entier naturel. Pour quelle valeur de n : [tex]\sqrt{n+\sqrt{n+7}}[/tex] est un entier

Bonjour,

√(n + √(n + 7)) est un entier si et seulement si n+7 et n + √(n + 7) sont des carrés parfaits.

Ce qui équivaut à :

Il existe deux entiers a et b tels que

n + 7 = a² et n + a = b²

⇔ b² - a + 7 = a² et n = b² - a

⇔ b² = a² + a - 7 et n = b² - a

⇔ 4b² = 4a² + 4a + 1 - 1 -28 et n = b² - a

⇔ 4b² = (2a + 1)² - 29 et n = b² - a

⇔ (2a + 1)² - 4b² = 29 et n = b² - a

⇔ (2a + 1 - 2b) (2a + 1 + 2b) = 29 et n = b² - a (puisque 29 est un nombre premier. Ses seuls diviseurs sont 1 et 29)

⇔ a = b et 4a = 28 et n = a² - a

⇔ a = b = 7 et n = a² - a = 49 - 7 = 42

D'où n = 42

Réponse :

Explications étape par étape :

■ Bonjour !

■ il faut que ( n + 7 ) soit un carré parfait

   la liste des carrés parfaits est { 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 ; ... }

   donc n appartient à cet ensemble : { 2 ; 9 ; 18 ; 29 ; 42 ; 57 ; 74 , ... }

■ essais :

               n -->   2      9        18      29      42      57

        √(n+7) ->   3      4        5        6        7        8

√[n+√(n+7)] ->  √5   √13   √23   √35   √49   √65

                                                                 ↓

                                                                 7

■ conclusion : n = 42 .