n un entier naturel non nul. Montrer que : [tex]\frac{1}{2} \leq \frac{1}{n+1} +\frac{1}{n+2} +\frac{1}{n+3} +...+\frac{1}{n+n} \ \textless \ 1[/tex]

Bonjour,

Soit n un entier naturel fixé

[tex]\forall k \in \mathbb{N} ; ~1\leq k\leq n\\\\n\leq n+k\leq n+n\\\\\dfrac{1}{2n} \leq \dfrac{1}{n+k} \leq \dfrac1{n}[/tex]

Maintenant, faisons la somme et nous avons n termes donc

[tex]\dfrac{n}{2n} \leq \dfrac1{n+1}+\cdots +\dfrac{1}{n+n} \leq \dfrac{n}{n}[/tex]

d'où le résultat.

Merci